تمرینات درس ریاض عموم ٢. r(t) = (a cos t, b sin t), ٠ t ٢π. cos ٢ t sin tdt = ka۴. x = ١ ka ۴. m ٣ = ٢a. κds باشد. حاصل x٢

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "تمرینات درس ریاض عموم ٢. r(t) = (a cos t, b sin t), ٠ t ٢π. cos ٢ t sin tdt = ka۴. x = ١ ka ۴. m ٣ = ٢a. κds باشد. حاصل x٢"

Όφελος Αγγελίδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 دانش اه صنعت شریف دانش ده ی علوم ریاض تمرینات درس ریاض عموم سری دهم. ١ سیم نازک داریم که روی دایره ی a + y x و در ربع اول نقطه ی,a را به نقطه ی a, وصل م کند. اگر چ ال سیم در نقطه ی y,x برابر kxy باشد جرم و مرکز جرم این سیم را بیابید > k,a. راهنمایی. سیم روی خم با پرمایش rt a cos t, a sin t, t π m kxy π ka ٣ π قرار دارد و در نتیجه جرم آن برابر است با: π ka cos ta sin t r t ka cos t sin t sin t, a cos t cos t sin t ka٣ xkxy ka ۴ π cos t sin t ka۴ ٣ همچنین داریم: و لذا مختص x مرکز جرم سیم برابر است با x ١ ka ۴ m ٣ a ٣ و با توجه به تقارن مختص y مرکز جرم نیز همین مقدار را دارد. را که در آن κ نشان دهنده ی انحنای خم است به دست κ باشد. حاصل x a + y. فرض کنید > b a, و بیض ١ b rt a cos t, b sin t, t π v r t sin t, b cos t a r t cos t, sin t κ v a v ٣ ab a sin t + b cos t ٣ آورید. راهنمایی. بیض داده شده را م توان به صورت پرمایش کرد. داریم:

2 κ π ab a sin t + b cos t ٣ π ab a sin t + b cos t ۴ab ۴ab π ١ a tan t + b π a sin t + b cos ab t a sin t + b cos t cos t ۴ab π a sin t + b cos t du a u + b ۴ au tan ١ b π و در نتیجه: [, π و π], [ π استفاده کردهایم که با تغییر متغیر τ π t قابل اثبات است. در خط دوم از ی سان بودن انتگرال روی ]. ٣ فرض کنید که خم اشتراک نمودار تابع هموار مانند y z fx, و استوانه ی ١ + y x است و ی دور کامل در جهت پیموده شده است که تصویر قاي م آن بر صفحه ی xy در جهت مثلثات است. همچنین فرض کنید: F x, y, z x y + z i + y x j + x k به تابع خاص f بستگ ندارد و مقدار آن را محاسبه کنید. نشان دهید F d r rt cos t, sin t, fcos t, sin t, t π راهنمایی. خم را م توان به صورت زیر پرمایش کرد: F d r π F rt r t داریم: از طرف : F rt r t cos t sin t + fcos t, sin t, sin t cos t, cos t sin t, cos t, sin tf ١ cos t, sin t + cos tf cos t, sin t sin ٣ t cos t sin tfcos t, sin t sin t cos tf ١ cos t, sin t + cos tf cos t, sin t sin ٣ t cos t + d cos tfcos t, sin t π داریم: cos t π و π و در نتیجه و با توجه به sin ٣ t F d r π + cos tfcos t, sin t π π. ۴ فرض کنید نیمدایرهی x ١ y باشد که نقطهی,١ را به نقطهی,١ وصل م کند. حاصل انتگرال زیر را محاسبه کنید: xy + πx + sin ٣ xdx + x y + x + ٣ sin y dy

3 xy + πx + sin ٣ xdx + x y + x + ٣ sin y dy xy + πx + sin ٣ xdx + x y + ٣ sin y dy + xdy راهنمایی. م توان نوشت: F ١ y xy F x اگر F نشان دهنده ی میدان برداری انتگرال اول باشد داریم و چون F روی R تعریف شده است و R همبند ساده است پس F پایستار است در صورت که این قضیه هنوز در کلاس درس مطرح نشده است م توان به طور مستقیم دید که ϕx, y x y + x πx + sin ٣ XdX + y ٣ sin Y dy ی تابع پتانسیل برای F است و لذا F پایستار است. در نتیجه م توان انتگرال F را در امتداد هر مسیر دلخواه از,١ به,١ محاسبه کرد و حاصل ی سان خواهد بود. ما این انتگرال را روی خط راست ١ t ١,,t L : حساب م کنیم: xy + πx + sin ٣ xdx + x y + ٣ sin y dy L ١ xy + πx + sin ٣ xdx + x y + ٣ sin y dy ١πt sin ٣ t π ٣ برای انتگرال دوم هم از پرمایش t t π cos,t sin برای استفاده م کنیم: xdy π cos t π. π ٣ + π π ۶ و لذا جواب مسي له برابر است با. ۵ فرض کنید c + b a و L خط به معادلهی ax + by c باشند. انتگرال x + y L را محاسبه کنید. راهنمایی. این انتگرال تنها به فاصلهی خط L از مبدأ وابسته است و لذا اگر L خط دی ری باشد که فاصلهی آن تا مبدأ با فاصلهی L تا مبدأ برابر است انتگرال روی L با انتگرال روی L برابر است. فاصلهی L تا مبدأ برابر است با. پس a +b rt t R پرمایش کرد., t به صورت باشد که آن را م توان x a +b فرض کنید L خط به معادله ی b+ a

4 L x + y L x + y a + b r t c a +b + t tan ١ a + b t حال با توجه به ١ t r داریم: a + b π. ۶ انتگرال y + ١ ٣ را که در آن تقاطع مخروط + y x z و صفحه ی ١ z x + است پیدا کنید. راهنمایی. فرض کنید t y پارامتر باشد. روی داریم t x z xz + x z و چون ١ x z + پس t+١ z. در نتیجه م توان را به صورت زیر پرمایش کرد: ١ t x و.z x t بنابراین rt ١ t ١ + t, t,, t R y + ١ ٣ که نتیجه م دهد t ١, t, r t و لذا + ١ t t. r حال داریم: r t t + ١ ٣ t + ١ ١ tan ١ t π rt e sin t, cos t, t ٣ + ١, t π ١ z dx ٣ z. ٧ فرض کنید خم با پرمایش شده است. مطلوب است محاسبه ی انتگرال زیر: ٣y x + z٣ dy + z dz راهنمایی. م توان دید که میدان برداری ای که انتگرال گیری از آن مد نظر است پایستار است و ϕx, y x ٣y z + z ی تابع پتانسیل برای آن است. در نتیجه انتگرال داده شده برابر است با: ϕrπ ϕr ϕ١, ١, π ٣ + ١ ϕ١, ١, ١ π ٣ + ١ + π٣ + ١ + ٣

5 lim n ١ n k١ t k t k+١ t k. ٨ حد زیر را که در آن ١ n < t < ١ t ی افراز بازه ی ١] [, است به صورت انتگرال خط تابع fx, y xy روی ی مسیر مناسب R [١,] : r بیان کنید و مقدار آن را محاسبه نمایید. n ١ n k١ راهنمایی. فرض کنید خم باشد که با ١ rt t, پرمایش م شود. داریم: n ١ lim t k t k+١ t k lim ft k rt k+١ rt k f ١ n k١ frt r t ١ t t ١ e x sin y F x, y e x e x cos y + ١, e x cos y ١ e x e x cos y + ١. ٩ فرض کنید: الف نشان دهید F روی Z} {, kπ : k R تعریف شده است. ب نشان دهید F ١ که در آن F ١ و F به ترتیب نشان دهندهی مو لفههای اول و دوم F هستند. y F x e x e x cos y + ١ e x cos y + sin y ج آیا F روی Z} {, kπ : k R پایستار است راهنمایی. الف داریم: و چون y e x cos و sin y نامنف هستند + ١ y e x cos x e تنها وقت صفر است که هر دوی y e x cos و.x و k Z y kπ صفر باشند یعن sin y F ١ y ex cos ye x e x cos y + ١ + e x sin y e x e x cos y + ١ ex e x + ١ cos y + e x e x e x cos y + ١ F x ex cos ye x e x cos y + ١ e x e x cos ye x cos y ١ e x e x cos y + ١ cos ye٣x e x cos y + e x e ٣x + e x cos y e x + e x e x e x cos y + ١ cos y e٣x e x + e x e x e x cos y + ١. F ١ y F x ب داریم: و لذا ج خیر پایستار نیست. برای اثبات کاف است مسیری بسته معرف کنیم که انتگرال F در امتداد آن ناصفر است. فرض کنید.a >, < b < π کند م عبور در جهت مثلثات,,, b, a, b, a, که از نقاط باشد مسیری مربع

6 F dr b b داریم: b a a F a, t, ١ F, t, ١ F t, b ١, + F t, ١, b a a F a, t F, t F ١ t, b + F ١ t, F a, t F, t F ١ t, b F ١ t, e a cos t ١ e a e a cos t + ١ e cos t ١ e e cos t + ١ e a ١ e a e a cos t + ١ e t sin b e t e t cos b + ١ م توان نوشت: صورت و مخرج کسر دوم را در e a ضرب کرده ایم و: e t sin b e t e t cos b + ١ e t sin b e t e t cos b + ١ F dr π π برای سادگ در محاسبات قرار م دهیم, b π a. ln پس: ٣ π ۵ ۴ cos t ۶ ۵ ۴ cos t u tan t م توان دید که به وضوح صفر نیست زیرا تابع زیر انتگرال پیوسته و همه جا مثبت است در واقع با تغییر متغیر که حاصل عبارت بالا برابر π است.

Σχετικά έγγραφα

محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی

محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی برای محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی باید توانایی تجزیه ی یک بردار در دو راستا ( محور x ها و محور y ها ) را داشته باشیم. به بردارهای تجزیه شده در راستای محور